Как рассчитать границы доверительного интервала

Доверительный интервал позволяет оценить диапазон значений, в котором с определенной вероятностью находится истинный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета границ доверительного интервала для различных статистических параметров.

1. Основные понятия

2. Формула общего вида

Доверительный интервал = Точечная оценка ± (Критическое значение × Стандартная ошибка)

3. Расчет для среднего значения

3.1. При известном σ (стандартном отклонении генеральной совокупности)

• Нижняя граница = x̄ - z_α/2 × (σ/√n)
• Верхняя граница = x̄ + z_α/2 × (σ/√n)

3.2. При неизвестном σ (используется t-распределение)

• Нижняя граница = x̄ - t_α/2,n-1 × (s/√n)
• Верхняя граница = x̄ + t_α/2,n-1 × (s/√n)

4. Критические значения для разных доверительных уровней

5. Расчет для доли признака

Формула Вальда:

• Нижняя граница = p̂ - z_α/2 × √(p̂(1-p̂)/n)
• Верхняя граница = p̂ + z_α/2 × √(p̂(1-p̂)/n)

6. Пошаговый алгоритм расчета

1. Определите точечную оценку параметра (среднее, доля)
2. Выберите доверительный уровень (обычно 95%)
3. Найдите соответствующее критическое значение
4. Рассчитайте стандартную ошибку
5. Вычислите границы интервала
6. Интерпретируйте результаты

7. Пример расчета для среднего

8. Важные замечания

• Для малых выборок (n < 30) используйте t-распределение
• При анализе долей убедитесь, что np̂ > 5 и n(1-p̂) > 5
• Ширина интервала зависит от объема выборки и изменчивости данных
• Доверительный интервал не означает вероятность для конкретного параметра